СИММЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

Теперь решение биквадратного уравнения ах⁴+bx²+c=0 сводится к решению двух квадратных уравнений с действительными коэффи­циентами;           

х^г+хv2vq-р+vq=0.                  x²2vq-p+vq=0.

Решение уравнений вида ах^2k+ bx^k + с = 0 (а¹0, k — натуральное число) заменой x^k= у сводится к решению квадратного уравнения ay²+bу +с=0 с последующим решением соответствующих двучленных уравнений.                                            

          Алгебраическое уравнение четвертой степени вида

ах⁴+bx³+cx²+dx+e=0               (1)

при е¹0 называется возвратным, если коэффициенты уравнения, а, b, d, е связаны равенствами d=lb, е=l²а (l, — некоторое от­личное от нуля число). Используя эту связь между коэффициентами, уравнение (1) можно записать в виде

ах⁴ + bх³ + сх² + λbх + λ²a= 0.          (2)

Так как х=0 не является корнем уравнения (1), то, разделив почленно обе части уравнения (2) на х² и проведя соответствующую группировку членов левой части уравнения, получим уравнение, эквивалентное уравнению (2) .

a(x² + λ²/x²) + (b + λ/x) + c = 0

Теперь заменой х+l/x=у (учитывая, что x²+λ²/x²=y²-2λ) последнее уравнение сводится к квадратному уравнению относительно у:

ау²+ bу+с—2la=0                (3)

Решая уравнение (3), получаем, что решение возвратного уравнения (2) сводится к решению двух квадратных уравнений:

х²-у₁х+l=0,

x²-y₂x+l =0

где у₁ и y₂ - корни уравнения (3).

Частным случаем возвратного уравнения является симметрическое уравнение (соответствующее l=1)

aх⁴+bx³+cx²+bx+a=0.

в кососимметрическое уравнение (соответствующее l=-1).             

aх⁴+bх³+сх²—bх+а=0.

Заменой х+1/x=y для симметрического и х –1/x=y  для кососимметрического уравнений эти уравнения вводятся к квадратным уравнениям относительно неизвестной у.

Уравнение четвертой степени вида 

(x²+bx+c)(x²+bx+d)=k,               (4)

где b, с, d, k — некоторые действительные числа, заменой

х² + bх = у

сводится к следующему квадратному уравнению относительно неизвестной у:

у²+(с+d)у-k=0.                    (5)

Если уравнение (5) имеет действительные корни у₁ и y₂, то корни уравнения (4) отыскиваются как корни двух квадратных уравнений с действительными коэффициентами:

х² + bх – y₁=0,

х² + bх – у₂=0 .

Решение уравнения вида

х(х+ а)(х+b)(х+ а+b) = с,      (6)

где a, b, c — некоторые действительные числа, может быть сведено к решению двух квадратных уравнений следующим образом.

   Перемножая первый и четвертый, второй и третий сомножители,

получаем уравнение

[х²+(а+b)х] [х²+(а+b)х+аb]=с,

которое заменой

x²+(а+b)х=у

сводится к квадратному уравнению относительно новой неизвестной у:                                 у²+аbу- с =0.                     (7)

Если уравнение (7) имеет действительные корни y₁ и y₂, то множество корней уравнения (6) находится как множество корней следующих двух квадратных уравнений c действительными коэффициентами;

x²+(а+b)х-у1=0,

х²+(а+b)х-у2=0