ПЯТЬ ПЛАТОНОВЫХ ТЕЛ

В своих размышлениях над картиной мироздания человек с давних времен активно использовал идею симметрии. Древние греки полагали, что Вселенная симметрична просто потому, что симметрия прекрасна. Исходя из соображений симметрии, они высказали ряд догадок. Так, Пифагор (5 век до н.э.), считая сферу наиболе симметричной и совершенной формой, делал вывод о сферичности Земли и о ее движении по сфере. При этом он полагал, что Земля движется по сфере некоего «центрального огня». Вокруг того же «огня», согласно Пифагору, должны были обращаться известные в те времена шесть планет, а также Луна, Солнце, звезды.

Широко используя идею симметрии, ученые любили обращаться не только к сферической форме, но также к правильным выпуклым многогранникам. Еще во времена древних греков был установлен поразительный факт – существует всего пять правильных выпуклых многогранников разной формы. Впервые исследованные пифагорейцами, эти пять правильных многогранников были впоследствии подробно описаны Платоном и стали называться в математике платоновыми телами.

Правильный многогранник – это объемная фигура с одинаковыми гранями, имеющими форму правильных многоугольников, и одинаковыми двугранными углами. Оказывается, что таких фигур может быть только пять (хотя существует бесконечно много различных правильных многоугольников). Выделяют следующие типы правильных многогранников: тетраэдр (правильная треугольная пирамида), октаэдр, икосаэдр, гексаэдр (куб), додекаэдр. Куб и октаэдр взаимны: если у одного из этих многогранников соединить отрезками прямых центры граней, имеющих общее ребро, то получится другой многогранник. Взаимны также додекаэдр и икосаэдр. Нетрудно понять, почему может быть только пять типов правильных многогранников. Возьмем простейшую грань – равносторонний треугольник. Многогранный угол можно образовать, приложив друг к другу три, четыре либо пять равносторонних треугольников, то есть тремя способами. (Если число треугольников равно шести, то сумма плоских углов при общей вершине будет равна 360°). При использовании квадратов в качестве граней можно образовать лишь одним способом – с помощью трех приложенных друг к другу квадратов. Единственным способом может быть образован многогранный угол и из правильных пятиугольников (при помощи трех пятиугольников). Правильные n-угольники при n³6 многогранных углов, очевидно, не образуют вообще. Таким образом, могут существовать только пять типов правильных многогранников: три многогранника с треугольными гранями (тетраэдр, октаэдр, икосаэдр), один с квадратными гранями (куб) и один с пятиугольными гранями (додекаэдр).