ЧЕТНЫЕ И НЕЧЕТНЫЕ ФУНКЦИИ

Четные и нечетные функции. Числовая функция у=f(х) называется четной,

если:

Ссылка функции: Функцией называют зависимость переменной y

от переменной x, если каждому значению переменной x  соответствует

 единственное значение y.

         Множество значений переменной х называют областью определения              функции.

         Множество значений переменной у называют множеством значений             функции.

         Графиком функции называется множество всех таких точек 

координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента,

 а ординаты – соответствующим значениям функции.

1) область определения функции симметрична относительно точки О

числовой оси (т. е. если точка x₀ принадлежит области опреде­ления

функции, то и точка  – x₀ также принадлежит области опреде­ления функции);

2) для любого значения независимой переменной, принадлежа­щего области

   определения функции, выполняется равенство

f(x)=f(-x).                        (1)

Числовая функция y = f(x) называется нечетной, если:

1) область определения функции симметрична относительно точки О

числовой оси (т. е. если точка х₀ принадлежит области определения функции,

то и точка - х₀ также принадлежит области определения функции);

2) для любого значения независимой переменной, принадлежащего

 Области определения функции, выполняется равенство

График четной функции симметричен относительно оси ординат,

а график нечетной функции симметричен относительно начала

коорди­нат, т. е. центрально симметричен.

2) Сумма и разность нечетных функций - нечетная функция,

а произведение и частное — четная функция.

Доказательство четности (или нечетности) функции у=f(x)

проводится следующим образом. Выясняется, симметрична ли область

определения функции у=f(x) относительно точки О числовой оси.

 Если область определения функции не симметрична относительно

точки О, то функция не является ни четной, ни нечетной.

Если же об­ласть определения функции симметрична

 относительно точки О, то переходят к проверке справедливости

равенств (1) (или (1')).

Если выполняется равенство (1), то функция f(х) четная;

если (1'), то нечетная. Если не выполняется ни одно из приведенных равенств,

то функция не является ни четной, ни нечетной.

График функции y=f(x).

Пусть график функции y=f(x)

В любой точке определения функции, где f(x)≥0, f(x)= f(x) и график функций y=f(x) и y=f(x) в таких точках совпадают.

Для тех значений аргумента, при которых f(x)<0, f(x)= -f(x), т. е. график функции y=f(x)для таких точек может быть получен зеркальным отражением графика функции y=f(x) на этой области относительно оси ОХ.  Отсюда можно сформулировать следующее правило.

Правило 1. Чтобы построить график функции y=f(x), нужно составить без изменения те части графика функции y=f(x), где f(x)≥0, а вместо участков графика функций y=f(x), где f(x)<0, построить их зеркальное отражение относительно оси ОХ.

 График функции y=f(x).

Известно, что при х≥0 х= х, и поэтому f(x)=f(x) для неотрицательных значений аргумента. То есть график функции y=f(x) при х≥0 совпадает с графиком функции y=f(x). Очевидно, что функция y=f(x) – четная, т.к. f(-x)=f(x) и поэтому график функции y=f(x) симметричен относительно оси ОУ.

Заметим, что для построения графика y=f(x) достаточно знать только расположение графика функции y=f(x) для х≥0. Для х<0 функция y=f(x) может быть вообще не определена, как, например, функция y=√x. Однако функция y=√xопределена на множестве действительных чисел и ее график изображен на  (получен путем зеркального отражения графика функций y=√x относительно оси ОУ).